Logaritmos: Guia Completo para o ENEM

O que é logaritmo?

O logaritmo responde uma pergunta muito simples: a que potência devo elevar a base para obter um determinado número?

Formalmente, escrevemos assim:

Definição de logaritmo

log_b x = y ⟺ b^y = x

Lê-se: "logaritmo de x na base b é igual a y"

Onde:

b = base (deve ser positiva e diferente de 1)
x = logaritmando (deve ser positivo)
y = resultado (o expoente)

⚡ Macete para memorizar Logaritmo e potenciação são operações inversas. Se você sabe que 2³ = 8, então log₂ 8 = 3. Sempre que ver um log, pense: "qual é o expoente?"

📌 Exemplos básicos

log₂ 8 = 3 pois 2³ = 8

log₁₀ 100 = 2 pois 10² = 100

log₃ 81 = 4 pois 3⁴ = 81

log₅ 1 = 0 pois 5⁰ = 1

Logaritmo decimal e logaritmo natural

Logaritmo decimal (log)

Quando a base é 10, omitimos a base na escrita. É o mais cobrado no ENEM:

Logaritmo decimal

log x = log₁₀ x

Base 10 subentendida — o mais comum nas provas

Logaritmo natural (ln)

Quando a base é o número de Euler (e ≈ 2,718). Aparece mais em física e química, mas pode cair no ENEM:

Logaritmo natural

ln x = logₑ x

Base e ≈ 2,718 (número de Euler)

Propriedades operatórias

As propriedades são o coração das questões de logaritmo no ENEM. Decore essas quatro e você resolve qualquer conta:

Produto

log(a · b) = log a + log b

Log do produto vira soma dos logs

Quociente

log(a / b) = log a − log b

Log da divisão vira subtração dos logs

Potência

log(aⁿ) = n · log a

Expoente desce e multiplica o log

Base especial

log_b b = 1 e log_b 1 = 0

Log da base = 1. Log de 1 = 0 sempre.

⚠️ Cuidado! Erros clássicos log(a + b) ≠ log a + log b | log(a − b) ≠ log a − log b
As propriedades só valem para produto e quociente, nunca para soma e subtração.

Resolvendo passo a passo

📌 Exemplo 1 — Usando a propriedade do produto

Calcule: log 4 + log 25

Aplicar a propriedade do produto log 4 + log 25 = log(4 · 25)

Multiplicar log(4 · 25) = log 100

Resultado log 100 = log 10² = 2

✅ Resposta: log 4 + log 25 = 2

📌 Exemplo 2 — Usando a propriedade da potência

Simplifique: log 8, sabendo que log 2 = 0,301

Escrever 8 como potência de 2 log 8 = log 2³

Aplicar a propriedade da potência log 2³ = 3 · log 2

Substituir o valor dado 3 · 0,301 = 0,903

✅ Resposta: log 8 = 0,903 Esse tipo de questão é clássico no ENEM — eles dão log 2 e pedem log de múltiplos de 2.

Exercícios para o ENEM

Resolva e clique em Ver gabarito para conferir.

Exercício 01

Calcule o valor de: log₂ 32

Solução: Pergunta: 2 elevado a que potência dá 32?
2¹ = 2 | 2² = 4 | 2³ = 8 | 2⁴ = 16 | 2⁵ = 32
log₂ 32 = 5

Exercício 02

Sabendo que log 2 = 0,301, calcule log 50.

Solução: Escreva 50 de forma útil: 50 = 100 / 2
log 50 = log(100/2) = log 100 − log 2
log 50 = 2 − 0,301
log 50 = 1,699

Exercício 03

Simplifique: log 5 + log 2 − log 1

Solução: log 1 = 0 (pois 10⁰ = 1)
log 5 + log 2 = log(5 · 2) = log 10 = 1
1 − 0 = 1

Exercício 04 — Estilo ENEM

Uma bactéria dobra de quantidade a cada hora. Usando log 2 ≈ 0,3, após quantas horas uma colônia de 1 bactéria atingirá 1.000 bactérias?

Solução: Modelo: 2ⁿ = 1000
Aplicando log: n · log 2 = log 1000
n · 0,3 = 3
n = 3 / 0,3
n = 10 horas

Exercício 05

Se log₃ x = 4, qual é o valor de x?

Solução: Converter para potenciação:
log₃ x = 4 ⟺ 3⁴ = x
3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81
x = 81

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